【ฉบับพิมพ์หลักสูตรกระทรวงศึกษาธิการ】คณิตศาสตร์ มัธยมต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 เล่ม 1: การรู้จักเศษส่วนพีชคณิต: การกำหนดแนวความหมาย ค้นหาความหมาย และคุณสมบัติพื้นฐาน

ลองจินตนาการว่า ถ้าคุณมีที่ดินสองแปลงที่มีรูปร่างซับซ้อน คุณต้องใช้สูตรเดียวเพื่ออธิบายอัตราส่วนของพื้นที่ ถ้าอัตราส่วนนี้ไม่สามารถแสดงได้ด้วยจำนวนเต็มธรรมดา (เช่น $\frac{3}{4}$) แต่ต้องใช้ตัวแปร (เช่น $x$) เพื่อแสดงกฎของการเปลี่ยนแปลง คุณจะก้าวเข้าสู่โลกแห่งเศษส่วนพีชคณิตเศษส่วนก้าวข้ามไปสู่เศษส่วนพีชคณิตที่น่าทึ่ง ศูนย์รวมของพีชคณิต ซึ่งมอบสิทธิ์ให้ตัวแปร “เต้นรำ” ในตัวหาร ทำให้เราสามารถอธิบายความสัมพันธ์ทางปริมาณที่ซับซ้อนมากขึ้นในโลกแห่งความจริงได้

หนึ่ง การกำหนดขอบเขตของเศษส่วนพีชคณิต: ที่อยู่ของตัวแปร

เศษส่วนพีชคณิตไม่ใช่แค่การรวมกันของพหุนามสองพจน์ หัวใจหลักของมันคือตัวหาร หากเราเขียนเศษส่วนในรูปแบบ $\frac{A}{B}$ โดยที่ $A, B$ ต้องเป็นพหุนาม และสิ่งสำคัญคือ:ตัวหาร $B$ ต้องมีตัวแปรนี่คือเกณฑ์เดียวในการแยกแยะระหว่างพหุนามกับเศษส่วนพีชคณิต

สอง การค้นหาความหมาย: พื้นที่ที่ห้ามเข้าถึง 'ศูนย์'

ในดินแดนของคณิตศาสตร์ ตัวหารเป็นศูนย์เป็นเขตห้ามเข้าโดยเด็ดขาด ดังนั้น เศษส่วน $\frac{A}{B}$ มีความหมายต้องมีเงื่อนไขก่อนว่า $B \neq 0$ สิ่งนี้เหมือนกำแพงป้องกันความปลอดภัย ทำให้ตรรกะพีชคณิตมีความแน่นหนา ขณะที่เรากำลังพูดถึงค่าของเศษส่วนพีชคณิตเท่ากับศูนย์ เราต้องปฏิบัติตามเกณฑ์สองประการ: ตัวเศษต้องเป็นศูนย์ และตัวหารต้องไม่เป็นศูนย์

เทคนิคการตรวจสอบ

การตรวจสอบว่าพจน์ใดเป็นเศษส่วนพีชคณิต ให้เริ่มจากดูว่ามีโครงสร้าง $\frac{A}{B}$ หรือไม่ จากนั้นตรวจสอบตัวหาร หากตัวหารมีเพียงค่าคงที่หรือ $\pi$ มันยังคงเป็นพหุนาม แต่ถ้าตัวหารมีตัวแปรอย่าง $x, a, t$ ขึ้นมา มันก็เป็นเศษส่วนพีชคณิต

สาม คุณสมบัติพื้นฐาน: คาถาแห่งความเท่ากัน

คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วนพีชคณิตเป็นเวอร์ชันที่พัฒนาขึ้นจากคุณสมบัติของเศษส่วน: เมื่อตัวเศษและตัวหารของเศษส่วนพีชคณิตคูณหรือหารด้วยพหุนามเดียวกันที่ไม่เท่ากับศูนย์ค่าของเศษส่วนพีชคณิตจะไม่เปลี่ยนแปลง เราใช้สิ่งนี้เป็นรากฐานในการดำเนินการลดรูป (แปลงความซับซ้อนให้เรียบง่าย) และหาผลเฉลี่ยร่วม (การดำเนินการบนเส้นทางเดียวกัน) อย่างมีเหตุผล

🎯 กฎหลัก

1. รูปแบบ: $\frac{A}{B}$ (โดยที่ $A, B$ เป็นพหุนาม และ $B$ มีตัวแปร);
2. ข้อจำกัด: $B \neq 0$ จึงจะมีความหมาย;
3. แก่นแท้: ตัวเศษและตัวหารเปลี่ยนพร้อมกัน ค่าจะไม่เปลี่ยนแปลง

$\frac{A}{B} = \frac{A \cdot M}{B \cdot M} \quad (M \neq 0)$

คำถามที่ 1

[กรอกช่องว่าง] 1. ใส่คำตอบและตรวจสอบว่าพจน์ที่กรอกเป็นเศษส่วนพีชคณิตหรือไม่: (1) นักเขียนคนหนึ่งใช้เวลา $m$ วันเขียนภาคแรกของนิยาย แล้วใช้เวลา $n$ วันเขียนภาคท้าย นิยายเล่มนี้มี 120,000 คำ ค่าเฉลี่ยต่อวันคือ ______; (2) เดินทางระยะทาง 10 กิโลเมตร ใช้เวลาเดิน $2x$ ชั่วโมง ความเร็วการขี่จักรยานช้ากว่าครึ่งหนึ่งของการเดิน 0.2 ชั่วโมง ความเร็วการขี่จักรยานคือ ______; (3) งานหนึ่ง ผู้ชายคนหนึ่งใช้เวลา $t$ ชั่วโมง ผู้หญิงคนหนึ่งใช้เวลาสั้นกว่า 1 ชั่วโมง งานทั้งหมดมี 1 หน่วย ประสิทธิภาพของผู้หญิงคือ ______.

(1) $\frac{120}{m+n}$ (เศษส่วนพีชคณิต); (2) $\frac{10}{x-0.2}$ (เศษส่วนพีชคณิต); (3) $\frac{1}{t-1}$ (เศษส่วนพีชคณิต)

(1) $120(m+n)$ (พหุนาม); (2) $\frac{10}{x}$ (เศษส่วนพีชคณิต); (3) $\frac{1}{t}$ (เศษส่วนพีชคณิต)

คำถามที่ 2

[ตอบสั้น ๆ] 3. $x$ ต้องเป็นค่าอะไรจึงจะทำให้เศษส่วนต่อไปนี้มีความหมาย? (1) $\frac{1}{3x}$; (2) $\frac{1}{3-x}$; (3) $\frac{x-5}{3x+5}$; (4) $\frac{1}{x^2-16}$

(1) $x \neq 0$; (2) $x \neq 3$; (3) $x \neq -\frac{5}{3}$; (4) $x \neq \pm 4$

(1) $x=0$; (2) $x=3$; (3) $x=-\frac{5}{3}$; (4) $x=4$

คำถามที่ 3

[ตอบสั้น ๆ] ลดรูป: (1) $\frac{2bc}{ac}$; (2) $\frac{(x+y)y}{xy^2}$; (3) $\frac{x^2+xy}{(x+y)^2}$; (4) $\frac{x^2-y^2}{(x-y)^2}$

(1) $\frac{2b}{a}$; (2) $\frac{x+y}{xy}$; (3) $\frac{x}{x+y}$; (4) $\frac{x+y}{x-y}$

(1) $\frac{2b}{c}$; (2) $\frac{y}{x}$; (3) $\frac{1}{x+y}$; (4) $\frac{x-y}{x+y}$

คำถามที่ 4

[ตอบสั้น ๆ] 1. เขียนผลลัพธ์ของการคำนวณคำถาม 1 และคำถาม 2 ในตอนที่ 15.2.1

问题 1: $\frac{s}{a}$; 问题 2: $\frac{v}{a}$

问题 1: $sa$; 问题 2: $v-a$

คำถามที่ 5

[กรอกช่องว่าง] 1. ใส่คำตอบ: (1) $3^0 = \_\_\_$, $3^{-2} = \_\_\_$; (2) $(-3)^0 = \_\_\_$, $(-3)^{-2} = \_\_\_$; (3) $b^0 = \_\_\_$, $b^{-2} = \_\_\_ (b \neq 0)$

(1) $1, \frac{1}{9}$; (2) $1, \frac{1}{9}$; (3) $1, \frac{1}{b^2}$

(1) $0, -9$; (2) $0, -9$; (3) $0, -b^2$